Etude des options américaines :

pricing et calcul des sensibilités

via malliavin

 

      

 

 

REMERCIEMENTS

 

Je tiens à remercier tout particulièrement Monsieur REGNIER, qui m’a accueilli chaleureusement au sein du département de recherche et développement de la Caisse Autonome de Refinancement et dont les nombreux conseils m’ont permis de mener à bien ce projet.

J’adresse également mes vifs remerciements à l’ensemble du personnel qui m’a permis de m’intégrer rapidement au sein de la CAR et m’a ainsi aidé à effectuer ce stage dans les meilleures conditions.

 

TABLE DES MATIERES

 

 

INTRODUCTION *

I- PRESENTATION DE LA CAR *

1- Le groupe Caisse des Dépôts *

2- Présentation de la CAR *

a- Présentation générale de la CAR *

b- Le département recherche et développement *

II- PROPRIETES ELEMENTAIRES DU CALCUL DE MALLIAVIN *

1- Notations *

2- Enoncés des propriétés élémentaires du calcul de Malliavin *

3- Quelques exemples du calcul de Malliavin *

a- Exemple 1 *

b- Exemple 2 *

c- Exemple 3 : dérivée de Malliavin d’une solution d’une EDS *

III- CALCUL D’ESPERANCES CONDITIONNELLES *

1- Illustrations *

a- Espérance conditionnelle d’un mouvement brownien *

b- Espérance conditionnelle de St processus log-normal *

2- Simulations *

IV- PRICING D’OPTIONS AMERICAINES *

1- Théorie *

2- Simulations *

V- CALCUL DES SENSIBILITES D’UNE OPTION AMERICAINE *

1- Calcul du Delta *

a- Théorie *

b- Simulations *

2- Calcul du Gamma *

a- Théorie *

b- Simulations *

3- Calcul du thêta *

VI- OPTIONS AMERICAINES : CAS DE LA DIMENSION MULTIPLE *

1- Calcul de l’espérance conditionnelle via Malliavin *

a- Théorie *

b- Simulations *

2- Pricing d’optons américaines : cas de la dimension multiple *

CONCLUSION *

ANNEXES *

BIBLIOGRAPHIE *

 

INTRODUCTION

Lors de mon projet de fin d’études j’ai appliqué les  méthodes de Monte-Carlo fondées sur le calcul de Malliavin, aux options européennes, afin d’approcher numériquement les diverses sensibilités.

Il était donc intéressant dans la continuité de " pricer ", via Malliavin, les options américaines relatives à un ou plusieurs sous-jacents et de calculer leurs sensibilités.

Une option américaine est une option que l’on peut exercer à chaque instant. Il n’existe donc pas de formule fermée permettant le pricing. Il faut donc avoir recours à des méthodes numériques. Dans ce rapport nous allons donc étudier les méthodes fondées sur l’utilisation du calcul de Malliavin, et nous comparerons les résultats obtenus aux résultats donnés via des méthodes usuelles type EDP.

Dans un premier temps, nous énoncerons les propriétés élémentaires du calcul de Malliavin. Nous l’utiliserons alors, pour approcher numériquement les options américaines en ayant vu au préalable comment approcher une espérance conditionnelle. Puis nous estimerons numériquement les sensibilités américaines. Enfin, nous utiliserons le calcul de Malliavin pour calculer des options à dimensions multiples.

Auparavant, nous allons rappeler le contexte de ce stage à travers une courte présentation de la société et plus particulièrement du département dans lequel j’ai évoluée.

  1. PRESENTATION DE LA CAR
  2.  

    1. Le groupe Caisse des Dépôts

La caisse des dépôts et consignations a été créée en 1816 pour gérer des fonds privés que les pouvoirs publics ont souhaité protéger par une gestion garantissant leur sécurité.

La spécificité du Groupe Caisse des dépôts, qui emploie plus de 30000 collaborateurs, est d’exercer à la fois :

La seconde caractéristique importante de la Caisse des Dépôts est d’être le partenaire de trois importants réseaux de collecte d’épargne :

Elle leur propose des services et des produits financiers adaptés à leurs besoins et à ceux de leurs clientèles.

La Caisse des dépôts réalise ses missions de service public sans marge d’intermédiation financière ; elles sont facturées au prix coûtant aux fonds gérés. Seuls les résultats dégagés par son activité d’investisseur institutionnel et par ses métiers concurrentiels sont conservés par la Caisse des dépôts ; mis en réserve, ils alimentent les fonds propres de l’Etablissement (66.2 MdF).

Après impôt sur les sociétés (3.1 MdF), la Caisse des dépôts a dégagé en 1998 un résultat net consolidé de 6.4 MdF. Sur ce résultat, elle a versé à l’Etat un " dividende " de 1.9 MdF.

Les comptes sociaux et consolidés de la Caisse des dépôts, établis selon les normes bancaires, sont certifiés par des réviseurs externes ; ils consolident l’ensemble des activités présentées ci-dessus à l’exception des fonds d’épargne qui sont rattachés dans un bilan et compte d’exploitation distincts.

 

Institution financière publique, la Caisse des dépôts est dirigée par un directeur général nommé par décret du Président de la République sur proposition du gouvernement pour un mandat de 5 ans renouvelable. Elle est placé sous le contrôle d’une Commission de surveillance composée des quatre parlementaires (trois députés, un sénateur), du directeur du Trésor, du Gouverneur de la Banque de France, de quatre magistrats représentant respectivement le conseil d’Etat et de la Cour des Comptes, du Président du Conseil de surveillance du centre national des caisses d’épargne et de prévoyance et du Président de la Chambre de Commerce et d’Industries de Paris. La Caisse des dépôts jouit d’un statut juridique tout à fait particulier, qui ne peut être changé que par le législateur.

 


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    1. Présentation de la CAR

      1. Présentation générale de la CAR

La CAR est un émetteur du secteur semi-public français, très connu et apprécié des investisseurs finaux domestiques et des intermédiaires, qui ambitionne d’étendre cette réputation dans la zone euro.

Agréée en qualité de société financière le 16 juillet 1987, la CAR est donc soumise à la réglementation bancaire française et est contrôlée par la Commission Bancaire. Ses émissions obligataires avec appel public à l’épargne sont visées par la Commission des Opérations de Bourse.

La CAR se procure ses ressources sur les marchés, par des émissions publiques ou privées, en utilisant de multiples supports et maturités : obligations, EMTN (euro medium term notes), BMTN, CD, interbancaire.

A fin 1999, l’encours total des emprunts de la CAR est de 53 milliards de francs. Leur maturité est comprise entre 2000 et 2019. Parmi ceux-ci, plusieurs ont de par leur taille et leur maturité acquis un statut d’emprunt de référence ; on citera l’emprunt obligataire CAR 7,5%, d’échéance août 2008, d’un montant nominal de 5,7 milliards de francs.

Les emprunts de la CAR sont essentiellement détenus par des investisseurs institutionnels, qui apprécient la bonne tenue de cette dette d’excellent rating (Aaa / P1 de Moody’s et AAA / A1+ de Standard & Poor’s) et dont ils ne sont pas saturés.

La mission de la CAR est de procurer des ressources de marché aux diverses entités du Groupe Caisse des dépôts.

Au sein de son Groupe, la CAR a la spécialité des émissions de long terme et donc du support obligataire. Au cours des années écoulées, la CAR a largement exercé cette spécialité au service de la Direction des fonds d’épargne, entité de la CDC chargée de centraliser les fonds des livrets d’épargne de la Poste et des Caisses d’Epargne, des Codevi et du LEP, pour les affecter au financement à long terme de l’habitat locatif social, et chargée également de les gérer afin d’apporter aux déposants une garantie permanente de liquidité.

La CAR est plus généralement ouverte à l’ensemble des entités de son Groupe pour le financement des diverses missions de la CDC. A la fin 1999, l’encours des refinancements accordés à l’ensemble de ces entités, toutes maturités et tous instruments confondus, représente 81 % du bilan de la CAR.

 

 

Une part de l’activité de refinancement de la CAR est en effet orientée en direction des marchés. Tout en restant mineure, cette part est en développement à titre d’activité complémentaire. Ce développement répond d’une part à la tendance de refinancer les entités publiques et privées par le marché et la titrisation, et d’autre part au souci d’une présence de la CAR sur les marchés primaires, moins dépendante des besoins de financements internes immédiats de la Caisse des dépôts et consignations.

Le rating de la CAR et de ses émissions s’explique principalement par son actionnariat, par la qualité des actifs figurant à son bilan et par ses méthodes de suivi des risques.

La CAR est filiale à 100% de la Caisse des dépôts et consignations, dont le rating triple A est fondé sur son rapport à l’Etat et son statut spécial. De plus, les actifs inscrits à son bilan sont d’excellente qualité : d’une part, les créances bénéficient de la garantie de l’Etat français, et d’autre part, les titres inscrits en portefeuille ont un rating compris entre AAA/Aaa et A, avec une grande diversification des signatures. A fin 1999, les actifs AAA ou à garantie d’Etat AAA constituent 85 % du bilan.

Enfin la CAR apporte tous ses soins au suivi rigoureux des risques, et notamment au risque de taux et au risque de crédit, sachant qu’elle ne prend pas de risque de change. Les créances figurant à l’actif ont fait l’objet de micro-adossements taux fixe / taux fixe avec les émissions lancées lors de leur achat, suivant une méthode d’équilibrage des durations actif / passif par segment de la courbe des taux.

Les titres en portefeuille sont essentiellement des emplois à Euribor, financés par des ressources à Euribor. Etant donné la qualité des actifs, le risque crédit est minime. Néanmoins la CAR s’impose de mesurer et de gérer ce risque, en le répartissant sur de nombreuses signatures et en s’assurant que la consommation de fonds propres économiques, d’après les probabilités de défaillance, soit couverte par ses fonds propres réglementaires.

Précisons enfin que les résultats de la CAR sont nettement positifs, tout en étant très peu sensibles aux aléas des marchés.

En conclusion, la CAR intervient donc aujourd’hui principalement dans le refinancement des créances et émet des produits sur les marchés obligataires. Son département recherche et développement, dont la vocation consiste à diffuser des techniques financières au sein de groupe Caisse des Dépôts, lui permet à ce titre de rester à l’écoute des marchés financiers.


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Le département recherche et développement

Dès sa création, l’activité financière de la CAR a donné naissance à un département recherche et développement dont les premiers travaux furent consacrés au développement de techniques d’adossement innovantes et à la gestion du risque de taux. Depuis lors, les compétences pluridisciplinaires des ses équipes ont permis à la CAR de structurer ce département autour de quatre projets cadres :

Les études réalisées en 1998 ont été centrées sur les optimisations de calculs de prix et de coûts de couverture sur opérations dérivées complexes. En matière de techniques numériques, les investigations thématiques furent sur l’utilisation des  méthodes de Monte-Carlo fondées sur le calcul de Malliavin. Les études se sont focalisées sur l’évolution d’options américaines. En parallèle, la CAR a poursuivi les études menées sur l’utilisation du calcul de Malliavin pour évaluer les produits optionnels. Ces études ont été effectuées non seulement sur les benchmarks i.e. options standards, mais également sur un produit de taux complexe : l’Index Amortizing Bond, dans le cadre du modèle de Hull & White, et ce afin de comparer les performances de ces méthodes par rapport aux méthodes usuelles. Si les résultats numériques sont encourageants, la technique reste difficile à maîtriser.

Les études réalisées en 1999 pour le compte exclusif de filiales opérationnelles du Groupe Caisse des dépôts ont été centrées sur la modélisation et les optimisations de calculs de prix.

Par ailleurs, d’autres problèmes comme la gestion des discontinuités (ex : options barrières, options digitales, …) constituent un axe de recherche qui est appelé à se développer dans le futur.

 

 

 


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  1. PROPRIETES ELEMENTAIRES DU CALCUL DE MALLIAVIN
  2. Nous donnerons dans cette partie quelques propriétés élémentaires du calcul de Malliavin utiles pour les calculs des sensibilités d’options. Nous ne rentrerons pas dans les détails théoriques. Remarquons uniquement que la calcul de Malliavin est un calcul différentiel de dimension infinie sur l’espace de Wiener.

     

    1. Notations
    2. Introduisons les notations suivantes :

      Soit un entier . Considérons l’espace W =C0( [0,t] , Â k) et Á la tribu borélienne sur W muni de la topologie uniforme sur les compacts.

      Soit P la mesure de Wiener sur (W ,Á ). En d’autres termes le processus (Wt) défini sur (W ,Á ,P) par Wt = wt, est un processus de Wiener.

      Soit Á t la filtration naturelle du mouvement brownien (Wt), i.e. Á t=s (Ws, 0 £ s £ t).

      B désignera la tribu sur [0,t]*W des ensembles Á t- mesurables.

      H désignera l’espace L2(]0,t[, k).

      (.,.) désignera le produit scalaire de L2(W ) et ||.||2 sa norme.

      S Ì L2(W ) désignera l’ensemble des variables aléatoires élémentaires F telles que pour n Î N, ,  :

      et

      désigne l’intégrale de Wiener de .

       

    3. Enoncés des propriétés élémentaires du calcul de Malliavin

Dans ce paragraphe, nous énoncerons uniquement les propriétés du calcul de Malliavin utiles pour la suite de notre exposé.

 

Si F est de la forme vue précédemment, alors on définit le gradient de F comme l’élément de L2(W *Â k) défini par :

.

 

On appelle intégrale de Skohorod l’opérateur d =D* (i.e. d est l’opérateur non borné de L2(W ,H) dans L2(W ) ) défini par :

  1. Dom(d ) est l’ensemble des u dans L2(W ,H) qui sont tels qu’il existe une constante C strictement positive avec :
  2. .

  3. Si u Î Dom(d ), d (u) est l’élément de L2(W ) (dont l’existence est assuré par le théorème de Riesz) qui satisfait :

.

Cette égalité est appelée formule d’intégration par parties qui fait intervenir l’intégrale d’Itô dans le cas adapté.

 

  1. L2(W * ]0,t[,B ,dP*dt ; Â k) Ì Dom(d ), et si u Î L2(W * ]0,t[, B, dP*dt ; Â k),
  2. alors d (u) est l’intégrale d’Itô i.e. .

    Il existe un autre cas où l’on a une formule explicite pour l’intégrale de Skohorod qui est donnée par la proposition suivante :

     

  3. ( Intégration par parties)

Si h Î H, F Î S, alors :

  1. hF Î Dom(d ).

.

 

Si F Î S, et G Î S, alors :

  1. FG Î S.

.

Remarquons en outre que si F est Á t - adaptée, alors :

.

On désignera par ||.||1,2 la norme sur S définie par :

.

D1,2 sera défini comme la fermeture de S pour la norme ||.||1,2 (i.e ).

L1,2 désignera l’ensemble des processus u Î L2([0,T] * W ) tel que pour tout s Î [0,t], ut Î D1,2. De plus, il existe une version mesurable de Ds(uv) par rapport à s et v telle que :

.

Notons que la norme de L1,2 notée sera définie comme :

.

 

L1,2 muni de la norme est un espace de Hilbert.

De plus, L1,2 est isomorphe à L2([0,t] ;D1,2) et L1,2 Ì Dom(d ).

 

A partir de la définition 2 et de la proposition 5, on peut montrer les lemmes ci-dessous :

Si u Î L1,2, alors :

  1. .
  2. .

désigne le symbole de Kronecker.

Par le lemme ci-dessus, on peut sous certaines hypothèses, calculer la dérivée de Malliavin d’une intégrale de Lebesgue et d’une intégrale stochastique.

Afin de simplifier la lecture du lemme 2 ci-dessous, nous utilisons la convention d’Einstein du double indice répété (i.e. uivi désigne ).

  1.  ( espérance et variance de l’intégrale de Skohorod )

  1. L2(]0,t[ ;(D1,2)k) Ì Dom(d ).
  2. Pour tout u Î L2(]0,t[ ;(D1,2)k),

 

 

 

 
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    1. Quelques exemples du calcul de Malliavin
    2. Illustrons le calcul de Malliavin sur quelques exemples simples.

      1. Exemple 1
      2. Notre objectif est d’appliquer la formule d’intégration par parties de la proposition 3, afin de calculer où hs est une variable aléatoire anticipant la filtration Á t.

        Montrons que : . ( 1 )

        Pour cela, considérons la formule d’intégration par parties :

        .

        En prenant et , on a :

        .

        Du fait que ,

         

      3. Exemple 2
      4. Montrons que . ( 2 )

        Comme , on a alors :

        .

        Notre objectif est de trouver un processus ,où est le poids de Malliavin, de manière à réécrire la quantité suivante : comme .

        Pour cela nous allons nous servir de la proposition 1 qui est, rappelons le, le résultat d’intégration par parties.

        Par la définition de la dérivée de Malliavin, on a  : .

        Il vient :

        .

        Il faut alors choisir us de telle manière que :

        .

        et donc cela revient à choisir un processus , tel que :

        .

        Un choix possible consiste à prendre pour us la quantité suivante :

        .

        On utilise la formule d’intégration par parties avec notre choix de us, et on obtient  :

        ,

        d’où

        .

         

      5. Exemple 3 : dérivée de Malliavin d’une solution d’une EDS

Dans cet exemple, on veut calculer la dérivée de Malliavin de Xt, où Xt est un processus défini tel que :

( 4 )

où b et s sont deux applications de .

Afin de garantir l’existence et l’unicité d’une solution à l’équation (4), il suffit de supposer les hypothèses suivantes vérifiées :

(H1) il existe une constante K strictement positive telle que : pour tout (x,y) Î Â 2 ,

.

(H2) .

Ainsi en intégrant, on peut écrire Xt sous la forme :

.

Sous nos hypothèses, on montre que . On va donc chercher à calculer pour . On a :

.

Comme X0 est déterministe, on a , on obtient alors :

.

En appliquant les propriétés 2 et 3 du lemme 1 vu au paragraphe précèdent, on a :

,

et

.

d’où,

,

soit encore

,

d’où

On constate alors que l’on retrouve un processus log-normal, d’où après avoir appliqué la formule d’Itô, on obtient le résultat suivant  :

( 5 )

Utilisons le résultat (5) au cas du modèle de Black & Scholes. Cela revient à prendre et avec r et s positifs.

On obtient alors :

.

Comme , on a :

 

Après avoir vu comment s’utilisait le calcul de Malliavin au travers de quelques exemples simples, nous allons l’utiliser pour calculer des espérances conditionnelles.

 
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  1. CALCUL D’ESPERANCES CONDITIONNELLES
  2. Dans cette partie, nous allons développer le calcul d’espérances conditionnelles via le calcul de Malliavin.

    Nous allons développer dans cette partie, le calcul des espérances suivantes :

    a est un réel positif et .

     

    1. Illustrations
    2. Pour des raisons pédagogiques, nous prendrons dans un premier temps le cas où (St) est un mouvement brownien. Cela fait, nous présenterons de manière succincte le cas où (St) est un processus log-normal.

       

      1. Espérance conditionnelle d’un mouvement brownien

 

est le poids de Malliavin.

Preuve :

Remarquons qu’en appliquant la formule de Bayes on obtient une seconde formulation de l’espérance conditionnelle :

. ( 6 )

C’est en fait cette formule que nous allons essayer de calculer via Malliavin.

Remarque : e tend vers zéro.

La fonction d’Heaviside n’est pas une fonction régulière. Mais, " on peut montrer " par une régularisation à l’aide d’une famille de noyau gaussien que l’on peut appliquer le calcul de Malliavin. Ainsi on cherche à calculer :

. ( 7 )

Rappelons que H est la fonction de Heaviside définie telle que :

Calculons alors la dérivée de Malliavin de  :

.

Nous rappelons que . D’où on obtient la dérivée suivante :

.

En appliquant la formule 2 de la proposition 1, on a :

.

d’où on cherche un us vérifiant :

Un choix possible consiste à prendre :

.

D’où en appliquant la formule d’intégration par parties, on trouve :

 

d’où par identification, on a le poids de Malliavin suivant :

CQFD

Remarque : on connaît le résultat exact de l’espérance conditionnelle d’un brownien entre les instants s et t si. En effet le mouvement brownien étant une martingale, on a :

Ainsi, on pourra vérifier si le résultat obtenu via Malliavin donne de bons résultats, proches de la valeur exacte.

 

      1. Espérance conditionnelle de St processus log-normal

On utilise la même méthode que précédemment. On cherche donc à calculer :

. ( 8 )

Par les mêmes arguments que ceux utilisés précédemment, calculons la dérivée de Malliavin de . On montre que :

.

Alors :

On cherche alors un tel que :

.

Un choix possible de ur satisfaisant les équations est :

.

Ainsi avec notre choix de ur et avec la formule d’intégration par parties, on a :

 

. ( 9 )

 

Comme la variable aléatoire anticipe la filtration . Il faut procéder de la même façon que dans l’exemple 1 de la partie II. On montre alors que pour tout s Î [0,T],

 

.

On injecte le résultat ci-dessus dans l’égalité (9), il vient :

 

 

 

Remarques :

  1. Pour approcher numériquement l’espérance conditionnelle , il suffit d’approcher numériquement la quantité suivante :
  2. . ( 10 )

  3. Dans le cas où , on a :
  4. .

  5. Dans le cas où

, on a la formule exacte du prix de l’option :

, ( 11 )

avec et .

 
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    1. Simulations

Pour approcher numériquement les espérances conditionnelles vues précédemment, nous allons mettre en place une méthode de Monte-Carlo. Dans cette section nous présenterons uniquement l’algorithme utilisé pour simuler l’espérance conditionnelle de la fonction payoff. Les autres algorithmes étant similaires voire plus simples.

Rappelons que la méthode de Monte-Carlo est une méthode de moyenne empirique fondée sur la loi des grands nombres. Illustrons ceci sur un exemple simple.

Soit f une fonction intégrable sur [0,1].

Nous voulons calculer l’expression suivante :

Soit U, une variable uniforme sur [0,1] alors I admet la représentation probabiliste suivante :

La loi des grands nombres indique que si (U(wi)) est une famille de variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur [0,1], l’estimateur : converge p.s. vers lorsque . Ceci forme alors un algorithme très simple, appelé " méthode de Monte-Carlo ".

Pour le mettre en place, il suffit de faire appel N fois à un générateur de nombres pseudo-aléatoires sur [0,1] sur un ordinateur et de calculer l’estimateur.

Avant d’approcher l’espérance conditionnelle, il faut au préalable revenir sur la simulation de variables aléatoires gaussiennes.

Une méthode classique pour simuler les variables aléatoires gaussiennes repose sur la résultat suivant : soient U1 et U2 sont deux variables aléatoires uniformes sur [0,1] indépendantes, alors la variable suit une loi gaussienne centrée réduite.

Donc pour simuler des gaussiennes de moyenne m et de variance s 2, il suffit de simuler une gaussienne centrée réduite X et de faire la transformation suivante :

suit une loi normale de moyenne m et de variance s 2.

A t fixé, (Wt) suit une loi normale centrée de variance t, ce qui peut s’écrire comme suit : où g suit une loi normale centrée réduite.

Pour pouvoir calculer la valeur exacte du prix d’un put (formule 11) et la comparer à la valeur obtenue numériquement, il faut alors approximer la fonction de répartition d’une gaussienne.

avec

et

.

 

Remarque : cette approximation est précise à près.

Tous ces rappels effectués, il ne reste plus qu’à mettre en place l’algorithme de résolution.

Dans un premier temps, on génère une famille de browniens de variance s. On se donne un alpha. Par exemple, on choisit alpha tel que : où w[10] est le dixième brownien simulé. Puis on calcule la valeur de Ss en fonction des mouvements browniens. On génère la loi normale de variance (t-s) permettant de simuler . Puis on calcule le cours de l’action à l’instant t en fonction de l’instant s. Et pour toutes les valeurs de Ss supérieures ou égales à a , on calcule la quantité (10) ci-dessus.

On obtient ainsi l’algorithme suivant :

 

 

Pour i de 0 à Nmonte /*avec Nmonte le nombre de simulations*/

W[i]=gaussienne(0,s)

/*choix d’alpha*/

som=0 ; som2=0 ;

Pour i de 0 à Nmonte

{

N=gaussienne(0,t-s) ;

si () alors

{

p= Calcul de j (St[i])

som=som + ((t-s)w[i] –sN+s s(t-s))

som2=som2 +p* ((t-s)w[i] –sN+s s(t-s))

}

}

resultat=som2/som

 

Remarque importante : pour obtenir des résultats numériques convenables de l’espérance conditionnelle de la fonction payoff, il faut choisir a de façon à ce que le prix à l’instant s reste dans l’intervalle . On démontre ceci en calculant la variance de . Le calcul montre que si Ss s’éloigne trop du strike, alors la variance devient très grande voire même infinie.

Regardons alors les résultats obtenus avec les paramètres suivants: S0=100, K=100, b=0.1, s =0.2, s=0.5, t=0.8.

Nmonte=1000

Valeur exacte

Valeur calculée

Différence

Espérance conditionnelle de Wt

-0.102051

-0.022185

0.079866

Espérance conditionnelle de St

105.083998

106.670238

1.586240

Espérance conditionnelle de j (St)

4.430952

4.797973

0.367021

 

Nmonte=10000

Valeur exacte

Valeur calculée

Différence

Espérance conditionnelle de Wt

-0.102051

-0.112612

0.010561

Espérance conditionnelle de St

105.083998

104.815625

0.268372

Espérance conditionnelle de j (St)

3.772708

3.749329

0.023379

 

Nmonte=100000

Valeur exacte

Valeur calculée

Différence

Espérance conditionnelle de Wt

-0.102051

-0.096754

0.005297

Espérance conditionnelle de St

105.083998

105.136457

0.052459

Espérance conditionnelle de j (St)

4.951753

4.952767

0.001014

Conclusion : on constate que les résultats obtenus sont d’autant meilleurs que le nombre de trajectoires simulées augmente. On aurait pu déduire ceci avant d’effectuer les simulations car une caractéristique de la méthode de Monte-Carlo est que l’écart type de l’erreur ne dépend que de la dimension i.e. le nombre de simulations. En fait on a :

.

Observons maintenant l’influence de la volatilité pour Nmonte=100000.

s =0.05

Valeur exacte

Valeur calculée

Différence

Espérance conditionnelle de St

107.710023

107.741158

0.031135

Espérance conditionnelle de j (St)

0.482672

0.488802

0.006130

 

s =0.4

Valeur exacte

Valeur calculée

Différence

Espérance conditionnelle de St

99.917998

100.069593

0.151594

Espérance conditionnelle de j (St)

8.552884

8.630709

0.077825

 

s =1

Valeur exacte

Valeur calculée

Différence

Espérance conditionnelle de St

76.181550

76.648708

0.467158

Espérance conditionnelle de j (St)

21.668114

21.448117

0.219997

Conclusion : on constate donc que plus la volatilité augmente et plus la différence entre la valeur exacte et la valeur calculée augmente.

Observons maintenant l’influence de la date finale i.e. la valeur de t  en reprenant s =0.2:

t=1

Valeur exacte

Valeur calculée

Différence

Espérance conditionnelle de St

107.206835

107.294701

0.087866

Espérance conditionnelle de j (St)

5.125837

5.160372

0.034534

 

t=2

Valeur exacte

Valeur calculée

Différence

Espérance conditionnelle de St

118.481877

118.702947

0.221070

Espérance conditionnelle de j (St)

4.882906

4.903624

0.020718

 

t=4

Valeur exacte

Valeur calculée

Différence

Espérance conditionnelle de St

176.754190

177.408550

0.654360

Espérance conditionnelle de j (St)

2.779084

2.470997

0.308087

Conclusion : on constate donc que l’erreur commise croit avec le temps. Ceci est dû au fait que l’on travaille avec un processus log-normal.

 
sommaire

  1. PRICING D’OPTIONS AMERICAINES
  2. Dans cette partie, nous allons développer le pricing des options américaines. Dans un premier temps, nous verrons la méthode utilisée puis les améliorations possibles afin d’améliorer le temps de calcul. Enfin, nous donnerons un échantillon des résultats obtenus par ces différentes méthodes.

     

    1. Théorie

On définit la formule d’une option américaine par :

où :

est un mouvement brownien standard et l’ensemble de tous les temps d’arrêt à valeurs dans [t,T].

Cette quantité probabiliste peut être interprétée comme la solution d’un système d’inéquations aux dérivées partielles parabolique. Ce résultat est dû en partie à Bensoussan-Lions et à Jaillet-Lamberton-Lapeyre. Ces derniers montrent que la quantité peut être vue comme la solution du système suivant :

( 13 )

avec A le générateur infinitésimal du processus (St).

Les auteurs montrent alors le résultat de régularité suivant :

L’inéquation (13) admet une solution unique v(t,x) continue et bornée telle que les dérivées au sens des distributions ,, soient localement bornées. De plus, cette solution vérifie :

Pour résoudre l’inéquation (13) plusieurs méthodes numériques sont possibles. La première est la résolution par la méthode des différences finies.

Afin de " pricer " notre option américaine en utilisant le calcul de Malliavin, nous allons approcher numériquement l’équation (14) à l’aide d’une méthode de Monte-Carlo. Cela revient en fait à faire du contrôle optimal.

Pour cela, on définit l’ensemble des stratégies admissibles (on exerce ou non à chaque instant) Uad, puis on définit un pas de temps dt tel que dt=T/N avec N le nombre de subdivisions de l’intervalle [0,T].

 

Ainsi, on peut montrer que u(t,x) peut être approché par :

avec

Alors,

.

 

Montrons que . ( 16 )

Posons .

Alors,

soit encore,

d’où

 

Conclusion , à chaque instant, on a :

Ainsi à chaque instant on compare le maximum entre la fonction payoff et l’espérance conditionnelle. On fait alors de la programmation dynamique. Ceci revient alors à parcourir un arbre. Pour déterminer le prix u(0,x), il suffit alors de parcourir ce même arbre mais dans l’autre sens.

Nous allons donc maintenant mettre en œuvre cette méthode numérique pour " pricer " notre put américain. Pour calculer l’espérance conditionnelle, nous allons appliquer le calcul de Malliavin i.e. la formule (10) de la partie III.

 
sommaire

    1. Simulations

Pour " pricer " notre option américaine, nous avons mis en œuvre une méthode Monte-Carlo.

Principe : on veut donc calculer . Pour cela, on génère une famille de particules où N est le nombre de subdivisons de [0,T], et Nmonte le nombre de simulations de Monte-Carlo.

Schéma :

 

 

 

 

 

 

En t=T, on connaît la valeur explicite du prix : il suffit de considérer la fonction payoff.

En t=T-dt, on calcule :

où en fait l’espérance conditionnelle est calculée via le modèle de Black & Scholes. Aux itérations suivantes, l’espérance est calculée via Malliavin.

Par récurrence, on a :

soit :

.

 

Finalement, on obtient l’algorithme suivant :

Pour i=1 à Nmonte

Pour l=N-2 à 1

{

Pour i=1 à Nmonte

Pour i=1 à Nmonte

}

Pour i=1 à Nmonte

prix=som/Nmonte

Afin de calculer au mieux l’espérance conditionnelle à chaque instant, on prend le plus de particules représentatives. Pour cela, on calcule pour chaque instant t. Et suivant la position de notre a par rapport b on considère la fonction d’Heaviside ou dans la formule (10) de la partie III.

Ainsi concrètement, on a :

Si a < b , on considère

Si a > b , on considère

Si a < b , on considère

Si a > b , on considère

 

Ainsi, pour notre put américain en appliquant cette méthode numérique, on obtient les résultats suivants (cf. figure 1).

 

Remarque : on considère comme valeurs théoriques les valeurs obtenues par résolution de l’EDP.

s

T

(en mois)

Strike K

Valeur calculée

Valeur théorique

Erreur

20%

1

35

0.00

0.00

0

40

0.85

0.84

0.01

45

5.00

5.00

0

4

35

0.197

0.19

0.007

40

1.56

1.56

0

45

5.02

5.06

0.04

7

35

0.42

0.42

0

40

1.96

1.96

0

45

5.16

5.24

0.08

40%

1

35

0.247

0.24

0.007

40

1.78

1.75

0.03

45

5.32

5.27

0.05

4

35

1.34

1.32

0.02

40

3.39

3.36

0.03

45

6.52

6.47

0.05

7

35

2.14

2.21

0.07

40

4.33

4.31

0.02

45

7.35

7.36

0.01

  1. résultats pour un put américain

S0=40, r=5%, Nmonte=10000.

Conclusion : on constate donc que les résultats obtenus en couplant la programmation dynamique au calcul de Malliavin sont proches des résultats obtenus par la résolution de l’équation aux dérivées partielles. Toutefois le temps de calcul est relativement long. Pour l’accélérer, nous avons implémenté deux autres méthodes numériques basées sur le partitionnement.

On génère comme précédemment nos trajectoires. On calcule le prix à l’instant T-dt. Puis on considère chaque particule.

On se donne un intervalle [b -,b +] tel que pour toutes les particules qui n’appartiennent pas à cet intervalle, on calcule le prix en appliquant Malliavin. Pour les autres, on teste si la particule appartient ou non à la partition Pi où Pi est définie comme suit :

avec Nx le nombre de partitions.

b - et b + sont définis de la façon suivante :

En définissant b - et b + comme ci-dessus, on s’autorise à n’avoir que 5% de particules isolées, ce qui se transcrit sur un schéma de la manière suivante :

 

 

 

 

 

 

 

 
sommaire

 

 

 

Dans ce cas on procède ainsi :

 

On garde toujours notre principe de partitionnement de l’intervalle [b -,b +]. Mais au lieu de calculer comme dans la méthode précédente :

,

on calcule maintenant :

On a donc par Bayes :

.

Pour calculer la formule (18), on procède comme suit :

,

et

.

 

Comparons les résultats obtenus avec ces différentes méthodes : considérons les paramètres suivants : S0=40, r=0.05, Nx=1000. On obtient alors les résultats suivants :

Méthode 1

Méthode 2

Méthode 3

Valeurs théoriques

strike K

Temps

Temps

Temps

35

0.007

29 s

0.007

2 s

0.0068

1 s

0.00

40

0.85

29 s

0.86

2 s

0.86

1 s

0.84

45

5.00

29 s

5.00

2 s

5.05

1 s

5.00

 

Méthode 1

Méthode 2

Méthode 3

Valeurs théoriques

Valeurs du strike K

Temps

Temps

Temps

35

0.42

35 s

0.42

3 s

0.42

1 s

0.42

40

1.96

35 s

1.96

3 s

1.99

1 s

1.96

45

5.16

31 s

5.19

3 s

5.26

1 s

5.24

 

Méthode 1

Méthode 2

Méthode 3

Valeurs théoriques

Valeurs du strike K

Temps

Temps

Temps

35

2.14

29 s

2.14

2 s

2.15

1 s

2.12

40

4.33

30 s

4.34

2 s

4.38

1 s

4.31

45

7.35

30 s

7.38

2 s

7.45

1 s

7.36

Conclusion : on constate que les résultats obtenus sont meilleurs en utilisant les méthodes numériques 1 et 2 qu’avec la méthode 3. De plus en comparant les temps de calcul entre les méthodes 2 et 3, on remarque qu’il diffère que d’une seconde. En conclusion, il est préférable de simuler un put américain en utilisant soit la méthode de Malliavin pur soit la première méthode de partitionnement qui donne des résultats corrects dans un temps très court.

Afin de calculer au mieux l’espérance conditionnelle à chaque instant, on prend le plus de particules représentatives. Pour cela, suivant la position de notre a par rapport b , on considère la fonction d’Heaviside ou . Comparons cette méthode à une méthode de localisation autour de la valeur a . Cette comparaison se fera pour le put américain et avec les paramètres suivants : S0=40, r=5%, Nmonte=3000, on obtient les valeurs suivantes :

 

 

 

s

T

(en mois)

Strike K

Valeur calculée

Valeur théorique

Erreur

20%

1

35

0.006

0.00

0.006

40

0.85

0.84

0.01

45

5.00

5.00

0

4

35

0.20

0.19

0.01

40

1.57

1.56

0.01

45

5.04

5.06

0.02

7

35

0.43

0.42

0.01

40

1.97

1.96

0.01

45

5.18

5.24

0.06

40%

1

35

0.25

0.24

0.01

40

1.78

1.75

0.03

45

5.32

5.27

0.05

4

35

1.35

1.32

0.03

40

3.39

3.36

0.03

45

6.50

6.47

0.03

7

35

2.15

2.21

0.06

40

4.34

4.31

0.03

45

7.36

7.36

0

  1. résultats pour un put américain avec localisation

S0=40, r=5%, Nmonte=3000.

Conclusion : on constate que les résultats obtenus sont proches de ceux calculés en utilisant le calcul de Malliavin uniquement. Toutefois, on utilise moins de trajectoires, ce qui permet d’obtenir un temps de convergence plus rapide.

 

Maintenant que nous savons simuler un put américain en utilisant le calcul de Malliavin pour calculer l’espérance conditionnelle, appliquons cette même méthode pour calculer les sensibilités d’une option américaine.

 


sommaire

  1. CALCUL DES SENSIBILITES D’UNE OPTION AMERICAINE
  2. Dans la partie précédente, nous avons présenté une méthode de Monte-Carlo fondée sur le calcul de Malliavin permettant d’approcher numériquement le prix d’une option américaine dans le cas du modèle de Black & Scholes. A présent nous nous intéressons au calcul des sensibilités d’une option américaine.

     

    1. Calcul du Delta
      1. Théorie

Le Delta  consiste à mesurer la sensibilité du portefeuille aux variations du cours à l’instant t. Il est défini comme suit :

Notons que le Delta est une quantité toujours positive et compris entre 0 et 1 pour un call, et toujours négative (entre –1 et 0) pour un put.

Sur la figure suivante, nous pouvons voir l’évolution dans le temps de Delta suivant que l’on se trouve à la monnaie, au-dessus ou en-dessous et ce jusqu’à la maturité de l’option.

 

  1. modèle typique des variations de delta pour un call européen

 

Comme nous l’avons vu dans la partie IV, le prix d’une option est donnée par la quantité suivante :

.

Notons l’approximation de D . Posons . La proposition suivante donne la formule permettant de calculer le Delta d’une option américaine.

  1.  

avec .

 

Remarques :

.

.

 

Ainsi pour calculer Delta on est amené à calculer la dérivée par rapport à a de l’espérance conditionnelle  à chaque instant i. e . ( 20 )

Afin de simplifier la présentation de la formule (20), nous allons remplacer par. Ainsi, on a le résultat suivant :

 

 

avec : ,

et

Preuve :

Nous avons vu dans la partie III de ce rapport que l’espérance conditionnelle pouvait se mettre sous la forme suivante :

.

Ainsi en dérivant, on a :

.

Par les mêmes arguments évoqués pour calculer le prix de notre option américaine, nous allons calculer la dérivée de Malliavin de .

Calculons d’abord la dérivée par rapport à a de l’opérateur Ts,t(j )(a ).

Posons F la fonction suivante :

,

avec

Alors,

.

 

Ainsi en utilisant le calcul de Malliavin, on a :

Or nous rappelons que .

 

 

 

 

En appliquant la propriété 2 de la proposition 1 de la partie II, on a :

En égalisant les équations (24) et (26), on constate qu’il faut choisir h u tel que :

.

Un choix possible consiste à prendre h u comme :

.

 

Par la formule d’intégration par parties et avec notre choix de h u , on a :

.

 

Calculons A.

.

Comme la variable aléatoire anticipe la filtration . Il faut procéder de la même façon que dans l’exemple 1 de la partie II. On montre alors que pour tout s Î [0,T],

.

 

D’où en injectant le résultat (29) dans la formule (28), on obtient :

.

D’où finalement en injectant le résultat (30) dans la formule (27), il vient :

CQFD

 

      1. Simulations

Afin de " pricer " l’option américaine, nous avons implémenté une méthode de Monte-Carlo.

Pour d’approcher numériquement Delta, on met en place une méthode analogue à celle implémentée pour " pricer " l’option américaine. La seule différence est que l’on teste à chaque instant et pour chaque particule la valeur du prix.

Nous allons dans un premier temps donner les résultats calculés dans le cas d’un call américain, car comme pour le prix, les sensibilités d’un call américain sont les mêmes que pour un call européen. Puis nous donnerons ceux obtenus pour le put.

Remarque : pour tester la validité des résultats obtenus dans le cadre du put américain, nous avons calculé le Delta à l’aide des différences finies i.e.

Considérons les paramètres suivants : S0=40, r=0.05, Nmonte=10000. On obtient alors les résultats suivants :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

T

(en mois)

K

Valeur calculée

Valeur par différences finies

Erreur

20%

1

35

-0.0059

-0.016

0.0101

40

-0.48

-0.48

0

45

-0.98

-0.99

0.01

4

35

-0.089

-0.097

0.008

40

-0.39

-0.45

0.06

45

-0.85

-0.88

0.03

7

35

-0.098

-0.14

0.042

40

-0.39

-0.43

0.04

45

-0.76

-0.80

0.04

40%

1

35

-0.08

-0.11

0.03

40

-0.42

-0.47

0.05

45

-0.79

-0.83

0.04

4

35

-0.18

-0.23

0.05

40

-0.38

-0.44

0.06

45

-0.61

-0.65

0.04

7

35

-0.19

-0.25

0.06

40

-0.35

-0.42

0.07

45

-0.56

-0.58

0.02

  1. résultats pour un put américain
  2.  

    s

    T

    (en mois)

    K

    Valeur calculée

    Valeur théorique

    Erreur

    20%

    1

    35

    0.93

    0.99

    0.06

    40

    0.54

    0.54

    0

    45

    0.024

    0.026

    0.002

    4

    35

    0.87

    0.91

    0.04

    40

    0.56

    0.58

    0.02

    45

    0.20

    0.21

    0.01

    7

    35

    0.83

    0.87

    0.04

    40

    0.57

    0.60

    0.03

    45

    0.29

    0.31

    0.02

    40%

    1

    35

    0.85

    0.89

    0.04

    40

    0.53

    0.54

    0.01

    45

    0.17

    0.18

    0.01

    4

    35

    0.73

    0.77

    0.04

    40

    0.54

    0.57

    0.03

    45

    0.35

    0.37

    0.02

    7

    35

    0.69

    0.75

    0.06

    40

    0.55

    0.59

    0.04

    45

    0.40

    0.44

    0.04

  3. résultats pour un call américain
  4. Remarque : les valeurs théoriques sont en fait les valeurs de Delta pour un call européen.

    Conclusion : on constate donc que les résultats calculés, aussi bien dans le cas du call que du put, sont proches de ceux attendus et ce pour tous T, s et K. Regardons maintenant si le nombre de trajectoires Nmonte a une influence sur les résultats.

    Nmonte

    s

    K

    Valeur calculée

    Valeur par différences finies

    Différence

    10000

    20%

    35

    -0.089

    -0.097

    0.008

    40

    -0.39

    -0.45

    0.06

    45

    -0.85

    -0.88

    0.03

    40%

    35

    -0.18

    -0.23

    0.042

    40

    -0.38

    -0.44

    0.04

    45

    -0.61

    -0.65

    0.04

    50000

    20%

    35

    -0.092

    -0.097

    0.005

    40

    -0.45

    -0.45

    0

    45

    -0.85

    -0.88

    0.03

    40 %

    35

    -0.25

    -0.23

    0.02

    40

    -0.46

    -0.44

    0.02

    45

    -0.68

    -0.65

    0.03

    100000

    20 %

    35

    -0.094

    -0.097

    0.003

    40

    -0.45

    -0.45

    0

    45

    -0.86

    -0.88

    0.02

    40%

    35

    -0.25

    -0.23

    0.02

    40

    -0.47

    -0.44

    0.03

    45

    -0.68

    -0.65

    0.03

  5. résultats pour un put américain avec T=4 mois, S0=40, r=5%.
  6. Conclusion : on constate donc au vu des résultats que plus le nombre de trajectoires simulées augmente et meilleure est la précision.

    Comparons les résultats de la figure 4 avec les résultats obtenus en localisant autour de la valeur a (cf. figures 7 et 8).

    s

    T

    (en mois)

    K

    Valeur calculée

    Valeur par différences finies

    Erreur

    20%

    1

    35

    -0.01

    -0.016

    0.006

    40

    -0.46

    -0.48

    0.02

    45

    -0.995

    -0.99

    0.005

    4

    35

    -0.099

    -0.097

    0.002

    40

    -0.47

    -0.45

    0.02

    45

    -0.88

    -0.88

    0

    7

    35

    -0.15

    -0.14

    0.01

    40

    -0.45

    -0.43

    0.02

    45

    -0.79

    -0.80

    0.01

  7. résultats pour un put américain avec localisation
  8. Nmonte=3000, S0=40, r=5%.

    s

    T

    (en mois)

    K

    Valeur calculée

    Valeur par différences finies

    Erreur

    40%

    1

    35

    -0.12

    -0.11

    0.01

    40

    -0.49

    -0.47

    0.02

    45

    -0.87

    -0.83

    0.04

    4

    35

    -0.25

    -0.23

    0.02

    40

    -0.47

    -0.44

    0.03

    45

    -0.68

    -0.65

    0.03

    7

    35

    -0.28

    -0.25

    0.03

    40

    -0.46

    -0.42

    0.04

    45

    -0.62

    -0.58

    0.04

     

  9. résultats pour un put américain avec localisation
  10. Nmonte=3000, S0=40, r=5%

     

    s

    T

    (en mois)

    K

    Valeur calculée

    Valeur par différences finies

    Erreur

    20%

    1

    35

    -0.01

    -0.016

    0.006

    40

    -0.49

    -0.48

    0.01

    45

    -0.99

    -0.99

    0

    4

    35

    -0.10

    -0.097

    0.003

    40

    -0.47

    -0.45

    0.02

    45

    -0.88

    -0.88

    0

    7

    35

    -0.15

    -0.14

    0.01

    40

    -0.45

    -0.43

    0.02

    45

    -0.77

    -0.80

    0.03

    40%

    1

    35

    -0.12

    -0.11

    0.01

    40

    -0.50

    -0.47

    0.03

    45

    -0.86

    -0.83

    0.03

    4

    35

    -0.26

    -0.23

    0.03

    40

    -0.47

    -0.44

    0.03

    45

    -0.69

    -0.65

    0.04

    7

    35

    -0.29

    -0.25

    0.04

    40

    -0.46

    -0.42

    0.04

    45

    -0.63

    -0.58

    0.05

  11. résultats pour un call américain avec localisation

Nmonte=3000, S0=40, r=5%

 

 

Conclusion : on constate au vu des résultats que la méthode de localisation donne des résultats proches de ceux obtenus sans localisation. L’avantage est que la méthode avec localisation donne des très bons résultats en utilisant moins de trajectoires. Ainsi on gagne en temps de calcul et ce malgré les tests mis en place dans la méthode de localisation.

 
sommaire

    1. Calcul du Gamma
      1. Théorie

Gamma : mesure la sensibilité du portefeuille aux variations de Delta en fonction du prix de l’action sous-jacente. Il est défini par :

La figure suivante donne l’évolution typique de Gamma suivant que l’on soit At, In ou Out the money.

 

  1. variations de gamma d’une option européenne

Notons que le Gamma est une quantité toujours positive.

Comme nous l’avons vu dans la partie IV, le prix d’une option est donnée par la quantité suivante :

.

Notons l’approximation de G . Posons . La proposition suivante donne la formule permettant de calculer le Gamma d’une option américaine.

 

avec .

Ainsi pour calculer Gamma on est amené à calculer la dérivée seconde par rapport à a de l’espérance conditionnelle  à chaque instant i. e . ( 32 )

Remarque : on a pour un call comme pour un put :

.

 

Ainsi en remplaçant par dans la formule (32), on a le résultat suivant :

 

et de plus

avec .

 

 

Preuve :

Comme nous l’avons vu dans le partie III, en calculant l’espérance conditionnelle via Malliavin. on trouve :

.

 

 

Alors en dérivant la formule (33) deux fois par rapport à a , on a :

 

Posons F la fonction suivante :

,

avec .

 

Par les mêmes arguments évoqués pour calculer le prix de notre option américaine, nous allons calculer la dérivée de Malliavin de F.

Calculons au préalable la dérivée seconde de F par rapport à a . On a et ce en utilisant le résultat du calcul de Delta via Malliavin :

Posons .

De plus par Malliavin, on a :

 

 

D’où en appliquant la propriété 2 de la proposition 1 de la partie II, on a :

 

Ainsi en égalisant les équations (36) et (38), on constate qu’il faut choisir tel que :

.

Un choix possible est :

.

 

Ainsi en appliquant la formule d’intégration par parties et le choix de notre h u on a le résultat suivant :

En appliquant une méthode analogue à celle utilisée dans le calcul de Delta, on a :

.

Ainsi en injectant le résultat de l’équation (40) dans la quantité (39), on trouve le résultat.

CQFD

      1. Simulations

Pour approcher numériquement Gamma, on met en place une méthode analogue à celle implémentée pour " pricer " l’option américaine. La seule différence est que l’on teste à chaque instant et pour chaque particule la valeur du prix.

Nous allons dans un premier temps donner les résultats calculés dans le cas d’un call américain, car comme pour le prix, les sensibilités d’un call américain sont les mêmes que pour un call européen. Puis nous donnerons ceux obtenus pour le put.

 

Remarque : pour tester la validité des résultats obtenus dans le cadre du put américain, nous avons calculé le Gamma à l’aide des différences finies i.e.

Considérons les paramètres suivants : S0=40, r=0.05, Nmonte=10000. On obtient alors les résultats suivants :

 

s

T

(en mois)

K

Valeur calculée

Valeur théorique

Erreur

20%

1

35

0.099

0.0094

0.0896

40

0.16

0.17

0.01

45

0.024

0.026

0.002

4

35

0.004

0.034

0.03

40

0.074

0.084

0.01

45

0.055

0.062

0.007

7

35

0.006

0.034

0.028

40

0.052

0.063

0.011

45

0.050

0.058

0.008

40%

1

35

0.002

0.04

0.038

40

0.074

0.085

0.011

45

0.05

0.056

0.006

4

35

0.014

0.032

0.018

40

0.032

0.042

0.01

45

0.033

0.041

0.008

7

35

0.010

0.026

0.016

40

0.021

0.032

0.011

45

0.024

0.032

0.008

  1. résultats pour un call américain
  2.  

    Remarque : les valeurs théoriques sont en fait les valeurs de Gamma pour un call européen.

     

     

    s

    T

    (en mois)

    K

    Valeur calculée

    Valeur par différences finies

    Erreur

    20%

    1

    35

    0.009

    0.013

    0.004

    40

    0.23

    0.17

    0.06

    45

    0.015

    0.013

    0.002

    4

    35

    0.043

    0.036

    0.007

    40

    0.14

    0.092

    0.048

    45

    0.046

    0.081

    0.035

    7

    35

    0.074

    0.037

    0.037

    40

    0.14

    0.072

    0.068

    45

    0.046

    0.08

    0.034

    40%

    1

    35

    0.074

    0.04

    0.034

    40

    0.11

    0.087

    0.023

    45

    0.051

    0.059

    0.008

    4

    35

    0.078

    0.033

    0.045

    40

    0.15

    0.045

    0.105

    45

    0.092

    0.044

    0.048

    7

    35

    0.078

    0.027

    0.051

    40

    0.095

    0.035

    0.06

    45

    0.074

    0.036

    0.038

  3. résultats pour un put américain
  4. Conclusion : on constate donc que les résultats calculés, aussi bien dans le cas du call que du put, sont proches de ceux attendus et ce pour tous T, s et K. Regardons maintenant si le nombre de trajectoires Nmonte a une influence sur les résultats.

     

    Nmonte

    s

    K

    Valeur calculée

    Valeur par différences finies

    Différence

    10000

    20%

    35

    0.043

    0.036

    0.007

    40

    0.14

    0.092

    0.048

    45

    0.046

    0.081

    0.035

    40%

    35

    0.078

    0.033

    0.045

    40

    0.15

    0.045

    0.105

    45

    0.092

    0.044

    0.048

    50000

    20%

    35

    0.040

    0.036

    0.004

    40

    0.097

    0.092

    0.005

    45

    0.031

    0.081

    0.05

    40 %

    35

    0.044

    0.033

    0.011

    40

    0.055

    0.045

    0.01

    45

    0.043

    0.044

    0.001

     

     

    Nmonte

    s

    K

    Valeur calculée

    Valeur par différences finies

    Différence

     100000

    20 %

    35

    0.036

    0.036

    0

    40

    0.079

    0.092

    0.013

    45

    0.039

    0.081

    0.042

    40%

    35

    0.033

    0.033

    0

    40

    0.039

    0.045

    0.006

    45

    0.032

    0.044

    0.012

  5. résultats pour un put américain
  6. avec T=4 mois, S0=40, r=5%.

     

    Conclusion : on constate donc au vu des résultats que plus le nombre de trajectoires simulées augmente et meilleure est la précision des résultats calculés.

    Comparons maintenant les résultats de Gamma obtenus en localisant le prix à ceux de la figure 12 :

    s

    T

    (en mois)

    K

    Valeur calculée

    Valeur par différences finies

    Erreur

    20%

    1

    35

    0.006

    0.013

    0.007

    40

    0.17

    0.17

    0

    45

    0.027

    0.013

    0.014

    4

    35

    0.039

    0.036

    0.003

    40

    0.088

    0.092

    0.004

    45

    0.042

    0.081

    0.039

    7

    35

    0.042

    0.037

    0.005

    40

    0.065

    0.072

    0.007

    45

    0.044

    0.08

    0.036

    40%

    1

    35

    0.045

    0.04

    0.005

    40

    0.089

    0.087

    0.002

    45

    0.051

    0.059

    0.008

    4

    35

    0.042

    0.033

    0.009

    40

    0.047

    0.045

    0.002

    45

    0.039

    0.044

    0.005

    7

    35

    0.036

    0.027

    0.009

    40

    0.038

    0.035

    0.003

    45

    0.031

    0.036

    0.005

  7. résultats pour un put américain

 

Conclusion : on constate qu’en localisant le prix de l’option américain on obtient des meilleurs résultats. L’erreur commise est au maximum de 10-2 alors que sans localisation on avait un erreur qui variait entre 5*10-2 et 10-1.

 
sommaire

    1. Calcul du thêta

Le thêta d’un portefeuille mesure la sensibilité de l’option par rapport au temps.

La figure suivante donne l’évolution typique de Thêta suivant que l’on soit At, In ou Out the money.

  1.  variations de thêta dans le cas d’ un call européen

Notons que Thêta est une quantité négative.

Comme nous l’avons vu dans la partie IV, le prix d’une option est donnée par la quantité suivante :

.

Soit l’approximation de . Posons . La proposition suivante donne la formule permettant de calculer le Thêta d’une option américaine.

 

avec .

 

D’où pour calculer Thêta, on teste à chaque instant la valeur du prix. Ainsi :

Or comme le brownien n’est pas différentiable en temps, on ne peut pas calculer la dérivée de l’espérance conditionnelle comme nous l’avons fait pour les autres sensibilités. Toutefois, on sait que le prix doit vérifier l’EDP. Ainsi, lorsque le prix est égal à l’espérance conditionnelle, on applique le résultat suivant :

. ( 41 )

Or nous rappelons que

.

D’où pour calculer la quantité Thêta de notre option américaine, il suffit d’appliquer l’algorithme suivant :

où le prix, Delta et Gamma sont les quantités explicitées dans les parties et paragraphes ci-dessus.

Voici les résultats obtenus avec un tel algorithme. Nous donnerons ici uniquement les résultats obtenus dans le cas du put américain. Considérons les paramètres suivants : S0=40, r=5%, Nmonte=10000.

Remarque : pour tester la validité des résultats obtenus, nous avons calculé le Thêta à l’aide de la formule suivante :

s

T

(en mois)

K

Valeur calculée

Valeur par différences finies

Erreur

20%

1

35

-0.52

-0.23

0.29

40

-7.66

-5.01

2.65

45

-0.47

0

0.47

4

35

-1.91

-0.95

0.96

40

-.79

-2.03

1.24

45

-0.87

-0.64

0.23

7

35

-1.94

-0.89

1.05

40

-2.76

-1.37

1.39

45

-1.06

-0.69

0.37

40%

1

35

-8.92

-4.77

4.15

40

-17.38

-10.76

6.62

45

-10.57

-5.57

5

s

T

(en mois)

K

Valeur calculée

Valeur par différences finies

Erreur

40%

4

35

-8.18

-3.71

4.47

40

-10.05

-4.68

5.37

45

-8.51

-4.02

4.49

7

35

-7.79

-2.88

4.91

40

-8.59

-3.29

5.3

45

-7.44

-3.02

4.42

  1. résultats pour un put américain
  2. Conclusion : on constate que les résultats obtenus sont très mauvais. L’erreur commise est généralement très supérieure à 1. Comme nous avons pu le remarquer la méthode de localisation permet d’obtenir une meilleure approximation des diverses quantités que nous avons calculées. Comme nous ne calculons pas explicitement l’espérance conditionnelle pour calculer la quantité Thêta, nous ne pouvons pas appliquer cette méthode. Toutefois, nous allons utiliser l’algorithme ci-dessus permettant de calculer Thêta mais en utilisant cette fois ci les résultats obtenus par localisation du prix, Delta et Gamma. La figure suivante donne les résultats obtenus dans ce cas.

    s

    T

    (en mois)

    K

    Valeur calculée

    Valeur par différences finies

    Erreur

    20%

    1

    35

    -0.15

    -0.23

    0.08

    40

    -4.57

    -5.01

    0.44

    45

    -0.09

    0

    0.09

    4

    35

    -0.95

    -0.95

    0

    40

    -1.91

    -2.03

    0.12

    45

    -0.59

    -0.64

    0.05

    7

    35

    -0.92

    -0.89

    0.03

    40

    -1.24

    -1.37

    0.13

    45

    -0.56

    -0.69

    0.13

    40%

    1

    35

    -5.01

    -4.77

    0.24

    40

    -10.20

    -10.76

    0.56

    45

    -5.86

    -5.57

    0.29

    4

    35

    -4.17

    -3.71

    0.46

    40

    -4.85

    -4.68

    0.17

    45

    -4.00

    -4.02

    0.02

    7

    35

    -3.38

    -2.88

    0.5

    40

    -3.55

    -3.29

    0.26

    45

    -2.99

    -3.02

    0.03

  3. résultats pour un put américain avec localisation

Conclusion : le calcul de Thêta à partir des variables localisées donne, comme on peut le constater sur la figure précédente, de meilleurs résultats. L’erreur commise est généralement inférieure 5*10-1, alors que sans localisation l’erreur était supérieure à 1 dans la majorité des cas.


sommaire

  1. OPTIONS AMERICAINES : CAS DE LA DIMENSION MULTIPLE
  2. " Pricer " et couvrir des options à dimensions multiples est très difficile. Ceci est d’autant plus vrai pour les options américaines.

    Il existe un bon nombre de méthodes pour " pricer " des options américaines relatives à un seul actif sous-jacent : par exemple EDP, inégalités variationnelles, …Ces méthodes peuvent se généraliser en dimensions multiples. Toutefois le temps de convergence augmente exponentiellement en fonction du nombre de sous-jacents.

    Pour approcher numériquement des options américaines, nous avons appliqué la méthode de Monte-Carlo. Un avantage de la méthode de Monte-Carlo est que le taux de convergence est indépendant du nombre de variables. Un autre avantage est qu’elle peut s’appliquer à un large panel de modèles et de fonctions payoff.

    Nous avons vu dans la partie IV que pour approcher une option américaine, on approche le prix u(t,x) par :

    .

    Le principe est alors de comparer à chaque instant le maximum entre la fonction payoff et l’espérance conditionnelle. En dimensions multiples, le principe reste le même, il faut juste calculer l’espérance conditionnelle en dimensions multiples via Malliavin.

     

    1. Calcul de l’espérance conditionnelle via Malliavin
    2. Nous avons calculé cette espérance conditionnelle de deux façons différentes : la première méthode fait appel à la théorie de Malliavin " pur ", l’autre consiste à prendre en compte les trajectoires directionnelles. Ces deux méthodes sont explicitées dans la partie théorique qui suit.

      1. Théorie

Considérons la fonction payoff. Notre objectif est alors de calculer la quantité suivante :

. ( 42 )

Pour cela, on considère le système suivant :

où les Wti sont des browniens corrélés.

Ainsi pour pouvoir calculer l’espérance il faut dans un premier temps décorréler les browniens.

Soient Bti des mouvements browniens indépendants, alors il existe une forme linéaire V non nécessairement unique telle que : Wt=V*Bt.

D’où,

.

Remarque : L’égalité , est à considérer en loi et non d’un point de vue trajectorielle. Afin de simplifier les écritures, par la suite on considérera pour .

Comme en dimension 1, on cherche à calculer :

, avec . ( 43 )

Pour calculer (43), nous avons donc mis en place deux méthodes de résolution :

Cette méthode ne sera donnée que dans le cas de la dimension 2. Donc pour d=2, on souhaite calculer la quantité suivante :

.

Pour cela, il faut calculer la quantité suivante :

.

On a que et s’écrivent comme suit :

où B t1 et B t2 sont deux mouvements browniens indépendants.

Pour simplifier les écritures, posons b la quantité suivante :

.

 

 

 

La preuve de ce lemme résulte de la proposition ci-dessous.

 

 

 

Remarque : la preuve de cette proposition est développée dans l’annexe 1.

 

On a :

indépendants.

On peut alors montrer que s’écrit sous la forme :

avecet indépendants pour i¹ j, et A la matrice de covariance s’écrivant A=VVT.

On cherche donc comme précédemment à calculer .

 

 

 

 

 

 

 
sommaire

Soit , , et , alors on a pour  :

avec ,

 

Notons ques’écrit alors :

,

avec les browniens décorrélés et .

 

Remarques :

  1. Dans le cas où r =1, on a la formule suivante :
  2.  

  3. Pour des raisons pédagogiques, nous démontrerons cette proposition dans le cas de la dimension 2 (cf. annexe 2), la démonstration en dimension quelconque se faisant par un raisonnement analogue.

 

      1. Simulations

Pour simuler les méthodes vues précédemment. nous allons mettre en place une méthode de Monte-Carlo. Dans un premier temps, il faut simuler les trajectoires. Pour cela, on génère une famille de particules où N est le nombre de subdivisons de [0,T], et Nmonte le nombre de simulations de Monte-Carlo. Or rappelons que X t1 et Xt2 s’écrivent comme suit :

où B t1 et B t2 sont deux mouvements browniens indépendants. Ainsi pour générer nos trajectoires, il suffit de simuler deux variables aléatoires gaussiennes de variance t.

Remarque : en procédant de la manière explicitée ci-dessus, nous ne connaissons pas explicitement les valeurs des mouvements browniens indépendants. Ainsi, pour avoir leurs valeurs à chaque itération, il faut résoudre le système : Wt=V*Bt.

Comparons alors les résultats obtenus en appliquant ces deux méthodes à la fonction payoff suivante :

.

Pour donner une validité aux résultats obtenus, nous avons également calculer l’espérance conditionnelle via Monte-Carlo. En considérant que la valeur initiale est a , cela revient à simuler l’espérance suivante :.

Voici donc les valeurs calculées par ces différentes méthodes en considérant les paramètres suivants : d=2, S01=40, S02=40, r=5%.

T

(en mois)

K

s 1

s 2

r

Méthode 1

Méthode 2

Méthode de Monte-Carlo seule

1

35

0.2

0.2

0.2

6.14

6.296

6.30

7

45

0.2

0.2

0.2

0.54

0.79

0.78

1

40

0.2

0.4

0.5

1.80

2.22

2.25

1

35

0.2

0.4

0.5

6.66

7.12

7.14

7

35

0.2

0.2

0.5

6.25

6.498

6.50

7

35

0.2

0.2

0

8.49

8.44

8.50

Conclusion : on constate donc que la seconde méthode donne de meilleurs résultats. L’erreur commise est en moyenne de 0.02. Nous allons donc généraliser cette méthode pour calculer l’espérance conditionnelle en dimension quelconque.

 
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    1. Pricing d’optons américaines : cas de la dimension multiple

Comme nous l’avons dit en introduction de cette partie, pour simuler des options américaines, nous avons appliqué la méthode de Monte-Carlo car elle présente de nombreux avantages tel que le fait qu’elle peut s’appliquer à un large panel de modèles et de fonctions payoff. Appliquons la aux fonctions payoff suivantes :

.

Pour " pricer " une option américaine, on compare le maximum entre la fonction payoff et l’espérance conditionnelle et ce à chaque instant. Afin de " pricer " notre option pour une dimension quelconque, l’espérance conditionnelle est approchée numériquement par le résultat de la proposition 13.

Ainsi, pour approcher numériquement cette formule, il faut dans un premier temps se donner la matrice des browniens corrélés. Par exemple en prenant r constant, on a pour :

Comme A est une matrice symétrique définie positive, elle peut se factoriser sous la forme A=VVT où V est une matrice triangulaire inférieure. On applique l’algorithme de Choleski. Rappelons cet algorithme  :

Pour j=1 à n

Pour i=j+1 à n

fin pour i

fin pour j

On en déduit alors Wt=V*Bt.

Or lorsque l’on génère les trajectoires, on génère des variables aléatoires gaussiennes. On ne connaît donc pas à chaque instant la valeur de Bt. Par contre on connaît la formule de Wt en appliquant la relation suivante :

.

Ainsi, il suffit d’inverser la matrice V pour connaître à chaque instant Bt. Donc, on peut calculer explicitement la formule de la proposition 13.

Les résultats alors obtenus (cf. pages suivantes) montrent que cette méthode nous donne des résultats proches de ceux obtenus en résolvant l’EDP.

 

 

 

 

 

 

r

T

K

Valeurs calculées

Valeurs théoriques

Erreur

0%

1

35

0.00

0.00

0

40

0.22

0.23

0.01

45

5.00

5.00

0

4

35

0.03

0.01

0.02

40

0.45

0.45

0

45

5.00

5.00

0

7

35

0.04

0.04

0

40

0.57

0.58

0.01

45

5.00

5.00

0

50%

1

35

0.00

0.00

0

40

0.47

0.49

0.02

45

5.00

5.00

0

4

35

0.12

0.09

0.03

40

0.91

0.94

0.03

45

5.00

5.00

0

7

35

0.25

0.20

0.05

40

1.26

1.21

0.05

45

5.00

5.00

0

100%

1

35

0.005

0.01

0.005

40

0.86

0.84

0.02

45

5.00

5.00

0

4

35

0.20

0.19

0.01

40

1.58

1.56

0.02

45

5.00

5.00

0

7

35

0.44

0.42

0.02

40

1.98

1.96

0.02

45

5.11

5.20

0.09

  1. Résultats pour un put américain avec d=3, Nmonte=10000

Spots=40, r=0.05, s 1=0.2, s 2=0.3, s 3=0.5

 

 

Pour conclure cette partie, donnons un aperçu des résultats obtenus pour différentes dimensions :

Considérons les paramètres suivants : S0=40, r=5%, s =20%. 

T

Strike

Valeurs calculées via Malliavin

Valeurs théoriques

7

35

6.45

6.40

7

45

1.14

1.09

T

Strike

Valeurs calculées via Malliavin

Valeurs théoriques

7

35

0.42

0.42

7

45

5.15

5.24

Remarque : on considère toujours comme théoriques les valeurs obtenues en résolvant l’EDP.

On confirme ainsi les résultats qui avaient été établis dans la partie IV.

N’ayant pas de résultats théoriques pour d=2, nous donnerons ici que les résultats obtenus pour le call. Sachant que le prix d’un call américain est identique à celui d’un call européen, nous avons calculé la valeur du call européen en appliquant une méthode de Monte-Carlo.

Considérons les paramètres suivants : S01=S02=40, r=5% et r le coefficient de corrélation de 50%.

T

Strike

s 1

s 2

Valeurs calculées via Malliavin

Valeurs calculées pour le call européen

7

35

0.2

0.2

8.55

8.60

7

45

0.2

0.2

1.75

1.85

4

35

0.4

0.4

9.863

9.861

4

40

0.4

0.4

6.10

6.14

 


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CONCLUSION

La conclusion de ce stage de fin d’études peut être faite sur plusieurs plans. Bien sûr au niveau des résultats obtenus, mais aussi sur le plan personnel en considérant ce que m’a apportée cette expérience tant au niveau technique qu’au niveau humain.

Le sujet de mon stage était donc d’appliquer des méthodes de Monte-Carlo fondées sur le calcul de Malliavin, dans un premier temps, pour " pricer " les options américaines standards et ce, afin de comparer les résultats obtenus aux résultats usuels donnés par les méthodes d’EDP. Dans un second temps nous l’avons utilisé pour calculer les diverses sensibilités.

Comme nous avons pu le voir tout au long de ce rapport, les résultats obtenus sont très satisfaisants. Ainsi au travers des différentes parties, nous avons pu mettre en avant l’intérêt majeur du calcul de Malliavin : il permet d’approcher numériquement les espérances conditionnelles intervenant dans le pricing des options américaines, via la fonction payoff et un poids dit poids de Malliavin.

De plus le couplage calcul de Malliavin - méthode de Monte-Carlo, permet de " pricer " un large panel de fonctions payoff et ce, indépendamment du nombre de variables sous-jacentes.

 

Ce stage m’a permis de consolider mes connaissances sur le calcul stochastique et d’utiliser les différentes méthodes numériques apprises lors de mon cursus telles que l’algorithme de Cholesky, la résolution d’EDP,…

De plus, la rédaction de ce rapport dans un cadre plus professionnel que ceux rédigés au cours de mon cursus, m’a permis de bien cerner ce qui est essentiel de développer mais également ce qui est superflu.

J’ai trouvé très intéressant de travailler au sein d’une petite structure (la CAR emploie uniquement 25 personnes). Ceci m’a permis de dialoguer avec tous les services, de poser des questions sur les différents postes et donc de bien comprendre le fonctionnement d’un organisme financier tel que la CAR.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


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ANNEXES

 

 

 

ANNEXE 1 : démonstration de la proposition 12

 

Rappelons que les processus X t1 et Xt2 sont définis comme suit :

et sont deux mouvements browniens indépendants.

Considérons une fonction y régulière. Posons et .

De plus rappelons également la propriété suivante :

Propriété :

Appliquons le calcul de Malliavin, on a donc :

Notre objectif est alors de trouver u Î L([0,T]* W , 2) tel que :

Tous ces rappels effectués, nous pouvons donc démontrer la proposition suivante :

Proposition :

Preuve :

On a :

Alors : .

Ainsi on obtient :

De même on a :

D’où on cherche u tel que :.

 

En injectant les résultats (45) et (46) dans l’équation (47), le problème devient :

 

Trouver u tel que :

.

et

.

 

D’où cela revient à chercher u tel que :

Posons .

Alors (**) s’écrit comme :

( 48 )

Posons .

On cherche alors à écrire y (a,b) sous la forme f (x ,h ). On a alors :

.

Alors on a  que (48) s’écrit comme :

. ( 49 )

Résolvons l’équation (49). Posons .

Considérons la fonction f suivante :

.

On a alors :

D’où finalement, on a :

Il reste à trouver u tel que :

 

Tous calculs effectués, on trouve :

.

En appliquant le u trouvé ci-dessus et la formule d’intégration par parties à la formule (47), on trouve :

 

Calculons les intégrales I, J, K à l’aide de la formule d’intégration par parties :

.

Posons h=1 et

Alors on a : .

Posons h=1 et

Alors on a : .

Posons h=1 et

Alors on a :.

Ainsi, on obtient le résultat final :

CQFD


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ANNEXE 2 : démonstration de la proposition 13

 

Rappelons que les processus X t1 et Xt2 sont définis comme suit :

et sont deux mouvements browniens indépendants.

Montrons la proposition suivante :

Proposition : 

Pour , on a :

avec

 

Preuve :

Considérons la propriété suivante :

Propriété :

,

.

Posons F la quantité suivante :

.

Alors on a :

D’où en appliquant la propriété 2 de la proposition 1 de la partie II, on a :

D’où on cherche h u2 tel que :

Un choix possible est :

.

Ainsi en appliquant la formule d’intégration par parties et le choix de notre h u2, on a le résultat suivant :

.

Calculons I à l’aide de la formule d’intégration par parties (proposition 3 de la partie II) en prenant h=1 et , on montre alors que :

.

D’où finalement en injectant (56) dans l’équation (55), on obtient le résultat suivant :

.

 

Or Bs1 intervient dans Xs2 et de plus Xs1 est une fonction de Bs1, alors on a :

,

soit encore .

 

 

Ainsi dans l’équation (57) on remplace Xs2 par sa valeur, et on obtient :

.

 

Posons donc maintenant G la quantité suivante :

.

Alors on a :

 

D’où en appliquant la propriété 2 de la proposition 1 de la partie II, on a :

 

Alors on cherche h u1 tel que :

Un choix possible est :

.

En utilisant notre h u1 dans la formule (60), après tous calculs, on obtient le résultat final :

avec

CQFD

 
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BIBLIOGRAPHIE